Cálculo Ejemplos

$\int \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = e^{x} - e^{- x}$ . Entonces $d u_{2} = (e^{x} + e^{- x}) d x$ , de modo que $\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = e^{x} - e^{- x}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.1.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 1.1.4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 1.1.4.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 1.1.4.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$e^{x} - - e^{- x}$

Paso 1.1.4.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} + 1 e^{- x}$

Paso 1.1.4.9

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{x} + e^{- x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x} - e^{- x}$ .

$\ln (| e^{x} - e^{- x} |) + C$