Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln (e^{x} + x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{\frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{0} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{0} + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.5.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.5.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.5.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{x} + x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x} + x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} + x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.6

Simplifica.

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Paso 3.3.6.1

Reordena los factores de $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $e^{x} + 1$ por $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

Paso 4.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

Paso 4.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

Paso 4.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 4.6

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{0} + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{\frac{1 + 1}{e^{0} + 0}}$

Paso 6.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$e^{\frac{2}{e^{0} + 0}}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{\frac{2}{1 + 0}}$

Paso 6.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{2}{1}}$

Paso 6.3

Divide $2$ por $1$ .

$e^{2}$