Cálculo Ejemplos

$y \sin (x^{2}) = x \sin (y^{2})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y \sin (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x \sin (y^{2}))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$y (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$y (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) y'$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (y^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y^{2})] + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{2}$ .

$x (\cos (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$x \cos (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x \cos (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \cdot 1$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Multiplica $\sin (y^{2})$ por $1$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2})$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y' = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$ .

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$ .

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y y' \cos (y^{2}) + \sin (y^{2})$

Paso 5.3

Resta $2 x y y' \cos (y^{2})$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2})$

Paso 5.4

Resta $2 x y \cos (x^{2})$ de ambos lados de la ecuación.

$y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Paso 5.5

Factoriza $y'$ de $y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2})$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $y' \sin (x^{2})$ .

$y' (\sin (x^{2})) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Paso 5.5.2

Factoriza $y'$ de $- 2 x y y' \cos (y^{2})$ .

$y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Paso 5.5.3

Factoriza $y'$ de $y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2}))$ .

$y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ por $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ por $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ .

$\frac{y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2}))}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} - \frac{2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Paso 5.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$