Cálculo Ejemplos

$e^{\frac{x}{y}} = x - y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.5

Combina $e^{\frac{x}{y}}$ y $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 1 - y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 - y') y^{2}$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 - y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = (1 - y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = (1 - y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = (1 - y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.3.2

Reordena los factores en $e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.3.3

Mueve $x$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.3.4

Reordena $y e^{\frac{x}{y}}$ y $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $(1 - y') y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2} - y' y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y' y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.2

Reordena $y^{2}$ y $- y' y^{2}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = - y' y^{2} + y^{2}$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Suma $y' y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = y^{2}$

Paso 5.3.2

Resta $y e^{\frac{x}{y}}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y'$ de $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y'$ de $y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2})$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Paso 5.3.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Paso 5.3.5

Divide cada término en $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ por $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.5.1

Divide cada término en $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ por $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Paso 5.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común de $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

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Paso 5.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Paso 5.3.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Paso 5.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Paso 5.3.5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.5.3.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ .

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Paso 5.3.5.3.2.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Paso 5.3.5.3.2.1.2

Factoriza $y$ de $- y e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Paso 5.3.5.3.2.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})$ .

$y' = \frac{y (y - 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Paso 5.3.5.3.2.2

Reescribe $- 1 e^{\frac{x}{y}}$ como $- e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Paso 5.3.5.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.3.5.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) + y^{2}}$

Paso 5.3.5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 5.3.5.3.3.4.1

Reescribe $- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ como $- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$