Cálculo Ejemplos

$2 x y + y^{2} = x + y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x y' + y) + 2 y y'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x y') + 2 y + 2 y y'$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y = 1 + y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y - y' = 1$

Paso 5.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y' + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $2 x y' + 2 y y' - y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $2 x y'$ .

$y' (2 x) + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 x) + y' (2 y) - y' = 1 - 2 y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Paso 5.3.4

Factoriza $y'$ de $y' (2 x) + y' (2 y)$ .

$y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Paso 5.3.5

Factoriza $y'$ de $y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ por $2 x + 2 y - 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ por $2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2 x + 2 y - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$