Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}$ .

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Paso 6.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$