Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 5.2

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 11.3

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 11.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

Paso 12

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Paso 14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Paso 15

Combina fracciones.

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Paso 15.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

Paso 15.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Paso 15.3

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Paso 15.4

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 17

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 19

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 20

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 21

Cancela los factores comunes.

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Paso 21.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Paso 21.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 21.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 23

Para escribir ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 25

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 25.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 25.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 25.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 25.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 26

Simplifica ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 27

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 28

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 29

Reescribe $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ como un producto.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 30

Multiplica $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Paso 31

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ sumando los exponentes.

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Paso 31.1

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ .

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Paso 31.1.1

Eleva $x^{2} + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 31.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 31.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 31.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 31.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$