Cálculo Ejemplos

$x \sqrt{3 x + 1}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x + 1}$ como ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 x + 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.3

Mueve ${(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 1] + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14.2

Combina $\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $3$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 16

Multiplica ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 17

Para escribir ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18

Combina ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20

Multiplica ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 20.1

Mueve ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21

Simplifica ${(3 x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x + (3 x + 1) \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x + 1$ .

$\frac{3 x + 2 \cdot (3 x + 1)}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23

Simplifica.

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Paso 23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.2

Simplifica el numerador.

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Paso 23.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 23.2.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 x + 6 x + 2 \cdot 1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 x + 6 x + 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.2.2

Suma $3 x$ y $6 x$ .

$\frac{9 x + 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$