Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{- t}}{1 + t^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = e^{- t}$ y $g (t) = 1 + t^{2}$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - t$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- t$ .

$\frac{(1 + t^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{u} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- t$ .

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $(1 + t^{2}) e^{- t}$ .

$\frac{- 1 \cdot ((1 + t^{2}) e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.3

Reescribe $- 1 (1 + t^{2})$ como $- (1 + t^{2})$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.6

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (2 t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(- 1 \cdot 1 - t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Reescribe $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 4.3.2

Reordena los factores en $- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t$ .

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$\frac{- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Factoriza $e^{- t}$ de $- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}$ .

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Paso 4.5.1.1

Factoriza $e^{- t}$ de $- e^{- t} t^{2}$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.1.2

Factoriza $e^{- t}$ de $- 2 e^{- t} t$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.1.3

Factoriza $e^{- t}$ de $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.1.4

Factoriza $e^{- t}$ de $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.1.5

Factoriza $e^{- t}$ de $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.5.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 4.5.2.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 t$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 (t) - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2.1.2

Reescribe $- 2$ como $- 1$ más $- 1$

$\frac{e^{- t} (- t^{2} + (- 1 - 1) t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 1 t - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.5.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{e^{- t} ((- t^{2} - 1 t) - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{e^{- t} (t (- t - 1) + 1 (- t - 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- t - 1$ .

$\frac{e^{- t} ((- t - 1) (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{e^{- t} (- t - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3

Combina exponentes.

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Paso 4.5.3.1

Factoriza $- 1$ de $- t$ .

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1 (1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (t) - 1 (1)$ .

$\frac{e^{- t} (- (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3.4

Reescribe $- (t + 1)$ como $- 1 (t + 1)$ .

$\frac{e^{- t} (- 1 (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3.5

Eleva $t + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3.6

Eleva $t + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} {(t + 1)}^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.4

Factoriza el negativo.

$\frac{- e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$