Cálculo Ejemplos

$x (x^{2} - \frac{1}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}] + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3

Multiplica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.5.2

Suma $2 x + x^{- 2}$ y $0$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \cdot 1$

Paso 4.7

Multiplica $x^{2} - \frac{1}{x}$ por $1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + x^{2} - \frac{1}{x}$

Paso 5

Para escribir $x (2 x + x^{- 2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x}{x} - \frac{1}{x}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x - 1}{x}$

Paso 7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Paso 8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Paso 10

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + \frac{1}{x^{2}}) - 1}{x}$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Paso 11.3

Combina los términos.

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Paso 11.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.1.1

Mueve $x$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Paso 11.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 11.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Paso 11.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Paso 11.3.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Paso 11.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Paso 11.3.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Paso 11.3.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 11.3.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Paso 11.3.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 1 - 1}{x}$

Paso 11.3.5

Resta $1$ de $1$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

Paso 11.3.6

Suma $2 x^{3}$ y $0$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

Paso 11.3.7

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 11.3.7.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

Paso 11.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

Paso 11.3.7.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Paso 11.3.7.2.3

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Paso 11.3.7.2.4

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

Paso 11.3.7.2.5

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + 2 x^{2}$

Paso 11.3.8

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$3 x^{2}$