Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{x^{2} + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica $x^{2} + 3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 8.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 8.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 8.4

Reescribe $- (x^{2} - 3)$ como $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 8.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$