Cálculo Ejemplos

$[(x^{3} + x) (x^{3} - x)]$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3} + x$ y $g (x) = x^{3} - x$ .

$(x^{3} + x) \frac{d}{d x} [x^{3} - x] + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1 \cdot 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Factoriza $1$ de $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1$ de $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Paso 3.1.2

Factoriza $1$ de $(x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

Paso 3.1.3

Factoriza $1$ de $1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

Paso 3.2

Multiplica $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ por $1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1

Expande $(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} (x^{3} + x) - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.2.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$3 x^{5} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$3 x^{5} + 3 (x \cdot x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{5} + 3 (x^{1} x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{5} + 3 x^{1 + 2} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.2.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.2.1.3

Reescribe $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.2.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.2.2

Resta $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Paso 3.4.3

Expande $(3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} (x^{3} - x) + 1 (x^{3} - x)$

Paso 3.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 (x^{3} - x)$

Paso 3.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Paso 3.4.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Paso 3.4.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Paso 3.4.4.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Paso 3.4.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{2} x + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Paso 3.4.4.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.1.3.1

Mueve $x$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Paso 3.4.4.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.4.4.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Paso 3.4.4.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Paso 3.4.4.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Paso 3.4.4.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Paso 3.4.4.1.5

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} + 1 (- x)$

Paso 3.4.4.1.6

Multiplica $- x$ por $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} - x$

Paso 3.4.4.2

Suma $- 3 x^{3}$ y $x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$

Paso 3.5

Combina los términos opuestos en $3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$ .

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Paso 3.5.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} + 0 - x$

Paso 3.5.2

Suma $3 x^{5} - x + 3 x^{5}$ y $0$ .

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} - x$

Paso 3.6

Suma $3 x^{5}$ y $3 x^{5}$ .

$6 x^{5} - x - x$

Paso 3.7

Resta $x$ de $- x$ .

$6 x^{5} - 2 x$