Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 1$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

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Paso 3.5.1.1

Resta $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x + 0 - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.5.1.2

Suma $2 \cdot - 1 x$ y $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.5.3

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 3.7.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Paso 3.7.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Paso 3.7.3

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$