Cálculo Ejemplos

$\frac{3 x - 9}{2 x + 8}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x - 9$ y $g (x) = 2 x + 8$ .

$\frac{(2 x + 8) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x + 8) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{(2 x + 8) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $2 x + 8$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 8) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.11

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + 0)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) \cdot 2}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Combina los términos opuestos en $3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9$ .

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Paso 3.3.1.1

Reordena los factores en los términos $3 (2 x)$ y $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 8 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Resta $2 \cdot 3 x$ de $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 0 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Suma $3 \cdot 8$ y $0$ .

$\frac{3 \cdot 8 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{24 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 9$ .

$\frac{24 + 18}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $24$ y $18$ .

$\frac{42}{{(2 x + 8)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $2 x + 8$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{42}{{(2 (x) + 8)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{42}{{(2 x + 2 \cdot 4)}^{2}}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 4$ .

$\frac{42}{{(2 (x + 4))}^{2}}$

Paso 3.4.2

Aplica la regla del producto a $2 (x + 4)$ .

$\frac{42}{2^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{42}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $42$ y $4$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $2$ de $42$ .

$\frac{2 (21)}{4 {(x + 4)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $2$ de $4 {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (21)}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 21}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$