Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{4 \sqrt{x + x \sqrt{x}}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}]$

Paso 2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}}}]$

Paso 2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1 + \frac{1}{2}}}}]$

Paso 2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}]$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2 + 1}{2}}}}]$

Paso 2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}$ como ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 3.2

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 3.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.3.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 3.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 3.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 3.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + x^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 8.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 9.2

Combina ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 9.3

Mueve ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 9.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 (2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 9.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 10

Según la regla de la suma, la derivada de $x + x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 13

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 14

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 16

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 16.2

Resta $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 17

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Reordena los factores de $- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.4

Multiplica $- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.5

Simplifica el numerador.

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Paso 18.5.1

Factoriza $- 1$ de $- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Paso 18.5.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.5.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.5.1.4

Reescribe $- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ como $- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$\frac{- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{- (\frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.7

Multiplica $- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Paso 18.7.1

Multiplica $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Paso 18.7.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{16 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$