Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Paso 4

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6

Separa las fracciones.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 8

Divide $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 9

Separa las fracciones.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 10

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 11

Divide $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 12

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Paso 13

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \tan (x) = - 1$

Paso 14

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 14.1

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 14.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 14.2.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 14.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Paso 15

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 16

Simplifica el lado derecho.

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Paso 16.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 17

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 18

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 18.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 18.2

Combina fracciones.

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Paso 18.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 18.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 18.3

Simplifica el numerador.

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Paso 18.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 18.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 19

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Paso 20

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 21.1

Simplifica cada término.

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Paso 21.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 21.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 21.2

Simplifica los términos.

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Paso 21.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 21.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 21.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 21.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Paso 21.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 21.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 21.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 21.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Paso 21.2.3.2.4

Divide $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{2}$

Paso 22

$x = \frac{π}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{4}$ es un máximo local

Paso 23

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 23.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Paso 23.2

Simplifica el resultado.

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Paso 23.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 23.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Paso 23.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 23.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 23.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Paso 23.2.2.2

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 23.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 23.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 23.2.2.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Paso 23.2.3

La respuesta final es $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Paso 24

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5 π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 25

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 25.1

Simplifica cada término.

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Paso 25.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 25.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 25.1.3

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 25.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 25.1.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 25.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 25.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 25.1.6

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 25.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 25.1.6.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 25.2

Simplifica los términos.

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Paso 25.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Paso 25.2.2

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 25.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 25.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 25.2.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 26

$x = \frac{5 π}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{4}$ es un mínimo local

Paso 27

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Paso 27.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 27.2

Simplifica el resultado.

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Paso 27.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 27.2.1.1

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 27.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 27.2.1.3

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 27.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 27.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 27.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 27.2.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 27.2.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 27.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Paso 27.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 27.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 27.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 27.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Paso 27.2.2.3.2.4

Divide $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

Paso 27.2.3

La respuesta final es $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Paso 28

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ es un máximo local

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ es un mínimo local

Paso 29