Cálculo Ejemplos

$y = 16^{4} \sqrt{4 x^{4} + 4}$

Paso 1

Eleva $16$ a la potencia de $4$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$

Paso 2

Reescribe $\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$ como $\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$ .

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Paso 2.1

Reescribe $4 x^{4} + 4$ como $2^{2} (x^{4} + 1)$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4}]$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4 (1)}]$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $4 (x^{4}) + 4 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4} + 1)}]$

Paso 2.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{2^{2} (x^{4} + 1)}]$

Paso 2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$

Paso 3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1

Multiplica $2$ por $65536$ .

$\frac{d}{d x} [131072 \sqrt{x^{4} + 1}]$

Paso 3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{4} + 1}$ como ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Como $131072$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} + 1$ .

$131072 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + 1$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$131072 (\frac{{(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Paso 11

Mueve ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$131072 (\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Paso 12

Combina $\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $131072$ .

$\frac{131072}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Paso 13

Factoriza $2$ de $131072$ .

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Paso 14

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 65536}{2 ({(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Paso 15

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 17

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 0)$

Paso 18

Combina fracciones.

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Paso 18.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3})$

Paso 18.2

Combina $4$ y $\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 \cdot 65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Paso 18.3

Multiplica $4$ por $65536$ .

$\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Paso 18.4

Combina $\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{3}$ .

$\frac{262144 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$