Cálculo Ejemplos

$y = x {(x - 4)}^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 4$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 4$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

Paso 1.3.6

Multiplica ${(x - 4)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Factoriza ${(x - 4)}^{2}$ de $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza ${(x - 4)}^{2}$ de $x (3 {(x - 4)}^{2})$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

Paso 1.4.1.2

Factoriza ${(x - 4)}^{2}$ de ${(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Paso 1.4.1.3

Factoriza ${(x - 4)}^{2}$ de ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

Paso 1.4.2.2

Suma $3 x$ y $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Paso 1.4.3

Reescribe ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = (x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

Paso 1.4.4

Expande $(x - 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Paso 1.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Paso 1.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Paso 1.4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Paso 1.4.5.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Paso 1.4.5.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Paso 1.4.5.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Paso 1.4.6

Expande $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f' (x) = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.7.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.4.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.7.5.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.6

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.7

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.8

Multiplica $4$ por $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

Paso 1.4.7.9

Multiplica $16$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Paso 1.4.8

Resta $32 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Paso 1.4.9

Suma $32 x$ y $64 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $96$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $96 x$ con respecto a $x$ es $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 2.4.3

Multiplica $96$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.5.1

Como $- 64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 64$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Paso 2.5.2

Suma $12 x^{2} - 72 x + 96$ y $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{2} - 72 x + 96$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$f''' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 72 x$ con respecto a $x$ es $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (96)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (96)$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 72$ por $1$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 + \frac{d}{d x} (96)$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $96$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $96$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 + 0$

Paso 3.4.2

Suma $24 x - 72$ y $0$ .

$f''' (x) = 24 x - 72$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 x - 72$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Paso 4.2.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Paso 4.2.3

Multiplica $24$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 24 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.1

Como $- 72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 72$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 24 + 0$

Paso 4.3.2

Suma $24$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 24$