Cálculo Ejemplos

$\int x^{5} \ln (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{5}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{6} x^{6}) - \int \frac{1}{6} x^{6} \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{6}$ .

$\ln (x) \frac{x^{6}}{6} - \int \frac{1}{6} x^{6} \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{6}}{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \int \frac{1}{6} x^{6} \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int x^{6} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $x^{6}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x^{6}}{x} d x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x} d x)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} d x)$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} d x)$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} d x)$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{x^{5}}{1} d x)$

Paso 4.2.2.5

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - (\frac{1}{6} \int x^{5} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} \int x^{5} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ como $\frac{1}{6} \ln (x) x^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$ .

$\frac{1}{6} \ln (x) x^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{6} x^{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{\ln (x)}{6}$ y $x^{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C$

Paso 6.2.3

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} x^{6} + C$

Paso 6.2.4

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{\ln (x) x^{6}}{6} - \frac{1}{36} x^{6} + C$

$\frac{1}{6} \ln (x) x^{6} - \frac{1}{36} x^{6} + C$