Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2}}{3 - x^{3}} d x$

Paso 1

Reescribe $x^{3}$ como ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{3 - {(x^{3})}^{1}} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = x^{3}$ . Entonces $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = x^{3}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica.

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{3 - u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Paso 3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = - d u_{1}$ , de modo que $- d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 5.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C$

Paso 10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C$

Paso 10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - x^{3} |)}{3} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - x^{3} |) + C$