Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{36 - x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $x = 6 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 6 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $6 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\int \sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $36$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $36$ de $36$ .

$\int \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $36$ de $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $36$ de $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $36 \cos^{2} (t)$ como ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$\int 36 \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 2.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int 36 \cos^{2} (t) d t$

Paso 3

Dado que $36$ es constante con respecto a $t$ , mueve $36$ fuera de la integral.

$36 \int \cos^{2} (t) d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$36 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$36 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $36$ .

$\frac{36}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $36$ y $2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{18}{1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$18 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$18 (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$18 (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$18 (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 10

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$18 (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$18 (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 12

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$18 (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 13

Simplifica.

$18 (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{6})$ .

$18 (\arcsin (\frac{x}{6}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$18 (\arcsin (\frac{x}{6}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 14.3

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{6})$ .

$18 (\arcsin (\frac{x}{6}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))$ .

$18 (\arcsin (\frac{x}{6}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))}{2}) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$18 \arcsin (\frac{x}{6}) + 18 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))}{2} + C$

Paso 15.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.3.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$18 \arcsin (\frac{x}{6}) + 2 (9) \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))}{2} + C$

Paso 15.3.2

Cancela el factor común.

$18 \arcsin (\frac{x}{6}) + 2 \cdot 9 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))}{2} + C$

Paso 15.3.3

Reescribe la expresión.

$18 \arcsin (\frac{x}{6}) + 9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{6})) + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$18 \arcsin (\frac{1}{6} x) + 9 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{6} x)) + C$