Cálculo Ejemplos

$\int 3 {(2 t + 5)}^{3} d t$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int {(2 t + 5)}^{3} d t$

Paso 2

Sea $u = 2 t + 5$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 t + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 t + 5$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 5]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t + 5$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{3} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ como $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{4} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{3}{8} u^{4} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t + 5$ .

$\frac{3}{8} {(2 t + 5)}^{4} + C$