Cálculo Ejemplos

$\int \frac{17 x + 5}{2 x^{2} + 7 x - 4} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$\frac{17 x + 5}{2 x^{2} + 7 (x) - 4}$

Paso 1.1.1.1.2

Reescribe $7$ como $- 1$ más $8$

$\frac{17 x + 5}{2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4}$

Paso 1.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{17 x + 5}{2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{17 x + 5}{(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4}$

Paso 1.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{17 x + 5}{x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$\frac{17 x + 5}{(2 x - 1) (x + 4)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(2 x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{(17 x + 5) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $2 x - 1$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(17 x + 5) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(17 x + 5) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(17 x + 5) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.1.6.2

Divide $17 x + 5$ por $1$ .

$17 x + 5 = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $2 x - 1$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$17 x + 5 = \frac{A (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (x + 4)$ por $1$ .

$17 x + 5 = (A) (x + 4) + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$17 x + 5 = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$17 x + 5 = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.1.7.4

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$17 x + 5 = A x + 4 A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.1.7.4.2

Divide $(B) (2 x - 1)$ por $1$ .

$17 x + 5 = A x + 4 A + (B) (2 x - 1)$

Paso 1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$17 x + 5 = A x + 4 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Paso 1.1.7.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$17 x + 5 = A x + 4 A + 2 B x + B \cdot - 1$

Paso 1.1.7.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$17 x + 5 = A x + 4 A + 2 B x - 1 \cdot B$

Paso 1.1.7.8

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$17 x + 5 = A x + 4 A + 2 B x - B$

Paso 1.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.8.1

Mueve $B$ .

$17 x + 5 = A x + 4 A + 2 x B - B$

Paso 1.1.8.2

Mueve $4 A$ .

$17 x + 5 = A x + 2 x B + 4 A - B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$17 = A + 2 B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = 4 A - 1 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$17 = A + 2 B$

$5 = 4 A - 1 B$

$17 = A + 2 B$

$5 = 4 A - 1 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $17 = A + 2 B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + 2 B = 17$ .

$A + 2 B = 17$

$5 = 4 A - 1 B$

Paso 1.3.1.2

Resta $2 B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 17 - 2 B$

$5 = 4 A - 1 B$

$A = 17 - 2 B$

$5 = 4 A - 1 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $17 - 2 B$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $5 = 4 A - 1 B$ por $17 - 2 B$ .

$5 = 4 (17 - 2 B) - 1 B$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $4 (17 - 2 B) - 1 B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = 4 \cdot 17 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $17$ .

$5 = 68 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$5 = 68 - 8 B - 1 B$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.2.2.1.1.4

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$5 = 68 - 8 B - B$

$A = 17 - 2 B$

$5 = 68 - 8 B - B$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.2.2.1.2

Resta $B$ de $- 8 B$ .

$5 = 68 - 9 B$

$A = 17 - 2 B$

$5 = 68 - 9 B$

$A = 17 - 2 B$

$5 = 68 - 9 B$

$A = 17 - 2 B$

$5 = 68 - 9 B$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $5 = 68 - 9 B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $68 - 9 B = 5$ .

$68 - 9 B = 5$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $68$ de ambos lados de la ecuación.

$- 9 B = 5 - 68$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $68$ de $5$ .

$- 9 B = - 63$

$A = 17 - 2 B$

$- 9 B = - 63$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $- 9 B = - 63$ por $- 9$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $- 9 B = - 63$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 63}{- 9}$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 9$ .

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Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 63}{- 9}$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 63}{- 9}$

$A = 17 - 2 B$

$B = \frac{- 63}{- 9}$

$A = 17 - 2 B$

$B = \frac{- 63}{- 9}$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.3.1

Divide $- 63$ por $- 9$ .

$B = 7$

$A = 17 - 2 B$

$B = 7$

$A = 17 - 2 B$

$B = 7$

$A = 17 - 2 B$

$B = 7$

$A = 17 - 2 B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $7$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 17 - 2 B$ por $7$ .

$A = 17 - 2 \cdot 7$

$B = 7$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $17 - 2 \cdot 7$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$A = 17 - 14$

$B = 7$

Paso 1.3.4.2.1.2

Resta $14$ de $17$ .

$A = 3$

$B = 7$

$A = 3$

$B = 7$

$A = 3$

$B = 7$

$A = 3$

$B = 7$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 3, B = 7$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + \frac{7}{x + 4}$

Paso 1.5

Elimina el cero de la expresión.

$\int \frac{3}{2 x - 1} + \frac{7}{x + 4} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{3}{2 x - 1} d x + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = 2 x - 1$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Paso 7

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{7}{x + 4} d x$

Paso 9

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 7 \int \frac{1}{x + 4} d x$

Paso 10

Sea $u_{2} = x + 4$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = x + 4$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 10.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 10.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 7 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) + 7 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x - 1$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 7 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 4$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 7 \ln (| x + 4 |) + C$