Cálculo Ejemplos

$\int x^{5} \cos (x^{3}) d x$

Paso 1

Sea $u = x^{3}$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u$ .

$\int \frac{u}{3} \cos (u) d u$

Paso 2.2

Combina $\frac{u}{3}$ y $\cos (u)$ .

$\int \frac{u \cos (u)}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int u \cos (u) d u$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

Paso 5

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

Paso 6

Reescribe $\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ como $\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}) + \cos (x^{3})) + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3})) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}))$ .

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Paso 8.2.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Paso 8.2.2

Combina $\frac{x^{3}}{3}$ y $\sin (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Paso 8.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $\cos (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{\cos (x^{3})}{3} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} x^{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$