Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (x)$ y $d v = 1$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Combina $x$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 3

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 3.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 3.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 3.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\arctan (x) x$ en $1$ y en $0$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Paso 7.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $2$ y en $1$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $\arctan (1)$ por $1$ .

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 7.3.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 7.3.3

Multiplica $0$ por $\arctan (0)$ .

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 7.3.4

Suma $\arctan (1)$ y $0$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Paso 8.2

Combina $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Paso 9.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Paso 9.3

Divide $2$ por $1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

Paso 10

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Forma decimal:

$0.43882457 \dots$