Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Paso 1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Paso 1.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} u d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{1}{2} u^{2}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 3.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 3.2.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Paso 3.2.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Paso 3.2.6

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$