Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $x^{2} + 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 1$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Paso 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1, - 1$ .

$1, - 1$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Suma $- 4$ y $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $4$ y $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{25}$

Paso 5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{3}{25}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Paso 5.3

En $x = - 2$ la derivada es $- \frac{3}{25}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 1}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = \frac{- 0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Paso 6.2.3

Divide $1$ por $1$ .

$f' (0) = 1$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 6.3

En $x = 0$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 1, 1)$ .

Incremento en $(- 1, 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 1}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (2) = \frac{- 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Suma $- 4$ y $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $4$ y $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{25}$

Paso 7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (2) = - \frac{3}{25}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $- \frac{3}{25}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(1, \infty)$ .

Decrecimiento en $(1, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 1, 1)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Paso 9