Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x^{2} + 3$ y $g (x) = 4 x^{2} + 5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Suma $4 x$ y $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $4 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.10

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.12.1

Suma $8 x$ y $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2.12.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.5

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.6

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Combina los términos opuestos en $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1

Resta $16 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2.2

Suma $20 x$ y $0$ .

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5.3

Resta $24 x$ de $20 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 2.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 2.3.3

Multiplica ${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 4 x^{2} + 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Factoriza $4 x^{2} + 5$ de ${(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Factoriza $4 x^{2} + 5$ de ${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 2.5.2.2

Factoriza $4 x^{2} + 5$ de $- 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 2.5.2.3

Factoriza $4 x^{2} + 5$ de $(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Factoriza $4 x^{2} + 5$ de ${(4 x^{2} + 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.1

Suma $8 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x \cdot x}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.16

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.17

Resta $16 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.18

Combina $- 4$ y $\frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.20.2.1

Multiplica $- 12$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20.2.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20.3

Factoriza $4$ de $- 48 x^{2} + 20$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.20.3.1

Factoriza $4$ de $- 48 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20.3.2

Factoriza $4$ de $20$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20.3.3

Factoriza $4$ de $4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20.4

Factoriza $- 1$ de $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20.5

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) - 1 \cdot - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20.6

Factoriza $- 1$ de $- (12 x^{2}) - 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20.7

Reescribe $- (12 x^{2} - 5)$ como $- 1 (12 x^{2} - 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2.20.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}})$

Paso 2.20.10

Multiplica $\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.6.1

Suma $4 x$ y $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $4 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.12.1

Suma $8 x$ y $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.2.12.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.5

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.6

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.2

Combina los términos opuestos en $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.2.1

Resta $16 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.2.2

Suma $20 x$ y $0$ .

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.3

Resta $24 x$ de $20 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 x = 0$

Paso 5.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4 (12 {(0)}^{2} - 5)}{{(4 {(0)}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{4 (12 \cdot 0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 9.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$\frac{4 (0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 9.1.3

Resta $5$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0 + 5)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{3}}$

Paso 9.2.3

Suma $0$ y $5$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{5^{3}}$

Paso 9.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{125}$

Paso 9.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{- 20}{125}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $- 20$ y $125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1

Factoriza $5$ de $- 20$ .

$\frac{5 (- 4)}{125}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $125$ .

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4}{25}$

Paso 9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{25}$

Paso 10

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2} + 3}{4 {(0)}^{2} + 5}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Paso 11.2.1.3

Suma $0$ y $3$ .

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Paso 11.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0 + 5}$

Paso 11.2.2.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$f (0) = \frac{3}{0 + 5}$

Paso 11.2.2.3

Suma $0$ y $5$ .

$f (0) = \frac{3}{5}$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$ .

$(0, \frac{3}{5})$ es un máximo local

Paso 13