Cálculo Ejemplos

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$ , $x = 0$ , $x = 3$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$81 x = x^{5}$

Paso 1.2

Resuelve $81 x = x^{5}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta $x^{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$81 x - x^{5} = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $x$ de $81 x - x^{5}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $x$ de $81 x$ .

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{5}$ .

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ .

$x (81 - x^{4}) = 0$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

Paso 1.2.2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 9$ y $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza.

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Paso 1.2.2.5.1

Simplifica.

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Paso 1.2.2.5.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

Paso 1.2.2.5.1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.2.5.1.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

Paso 1.2.2.5.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

Paso 1.2.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

Paso 1.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $9 + x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $9 + x^{2}$ igual a $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $9 + x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 9$

Paso 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Paso 1.2.5.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Paso 1.2.5.2.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Paso 1.2.5.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Paso 1.2.5.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Paso 1.2.5.2.3.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 1.2.5.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Paso 1.2.5.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Paso 1.2.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i$

Paso 1.2.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i$

Paso 1.2.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i, - 3 i$

Paso 1.2.6

Establece $3 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $3 + x$ igual a $0$ .

$3 + x = 0$

Paso 1.2.6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.2.7

Establece $3 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Establece $3 - x$ igual a $0$ .

$3 - x = 0$

Paso 1.2.7.2

Resuelve $3 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.7.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 3$

Paso 1.2.7.2.2

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.7.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 1.2.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.7.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 1.2.7.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 1.2.7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.7.2.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Paso 1.2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = {(0)}^{5}$

Paso 1.3.2

Sustituye $0$ por $x$ en $y = {(0)}^{5}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{5}$

Paso 1.3.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 3 i$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $3 i$ por $x$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

Paso 1.4.2

Simplifica ${(3 i)}^{5}$ .

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Paso 1.4.2.1

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$y = 3^{5} i^{5}$

Paso 1.4.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$y = 243 i^{5}$

Paso 1.4.2.3

Factoriza $i^{4}$ .

$y = 243 (i^{4} i)$

Paso 1.4.2.4

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 1.4.2.4.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Paso 1.4.2.4.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Paso 1.4.2.4.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = 243 (1 i)$

Paso 1.4.2.5

Multiplica $i$ por $1$ .

$y = 243 i$

Paso 1.5

Evalúa $y$ cuando $x = - 3 i$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye $- 3 i$ por $x$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

Paso 1.5.2

Simplifica ${(- 3 i)}^{5}$ .

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Paso 1.5.2.1

Aplica la regla del producto a $- 3 i$ .

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

Paso 1.5.2.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $i^{4}$ .

$y = - 243 (i^{4} i)$

Paso 1.5.2.4

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 1.5.2.4.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Paso 1.5.2.4.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Paso 1.5.2.4.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

Paso 1.5.2.5

Multiplica $i$ por $1$ .

$y = - 243 i$

Paso 1.6

Evalúa $y$ cuando $x = - 3$ .

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Paso 1.6.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

Paso 1.6.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$y = - 243$

Paso 1.7

Evalúa $y$ cuando $x = 3$ .

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Paso 1.7.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$y = {(3)}^{5}$

Paso 1.7.2

Sustituye $3$ por $x$ en $y = {(3)}^{5}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.7.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 3^{5}$

Paso 1.7.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$y = 243$

Paso 1.8

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{3} 81 x d x - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $3$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{3} 81 x - (x^{5}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $x^{5}$ .

$\int_{0}^{3} 81 x - x^{5} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{3} 81 x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Paso 3.4

Dado que $81$ es constante con respecto a $x$ , mueve $81$ fuera de la integral.

$81 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$81 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Paso 3.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Paso 3.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Paso 3.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3})$

Paso 3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.9.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Paso 3.9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $3$ y en $0$ .

$81 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Paso 3.9.2.2

Evalúa $\frac{x^{6}}{6}$ en $3$ y en $0$ .

$81 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3

Simplifica.

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Paso 3.9.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 3.9.2.3.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$81 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$81 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.5

Suma $\frac{9}{2}$ y $0$ .

$81 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.6

Combina $81$ y $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.7

Multiplica $81$ por $9$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.8

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{729}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.9

Cancela el factor común de $729$ y $6$ .

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Paso 3.9.2.3.9.1

Factoriza $3$ de $729$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 (243)}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.3.9.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 3.9.2.3.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{6})$

Paso 3.9.2.3.11

Cancela el factor común de $0$ y $6$ .

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Paso 3.9.2.3.11.1

Factoriza $6$ de $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 (0)}{6})$

Paso 3.9.2.3.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.2.3.11.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Paso 3.9.2.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Paso 3.9.2.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{1})$

Paso 3.9.2.3.11.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - 0)$

Paso 3.9.2.3.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} + 0)$

Paso 3.9.2.3.13

Suma $\frac{243}{2}$ y $0$ .

$\frac{729}{2} - \frac{243}{2}$

Paso 3.9.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{729 - 243}{2}$

Paso 3.9.2.3.15

Resta $243$ de $729$ .

$\frac{486}{2}$

Paso 3.9.2.3.16

Cancela el factor común de $486$ y $2$ .

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Paso 3.9.2.3.16.1

Factoriza $2$ de $486$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2}$

Paso 3.9.2.3.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.3.16.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2 (1)}$

Paso 3.9.2.3.16.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 243}{2 \cdot 1}$

Paso 3.9.2.3.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{243}{1}$

Paso 3.9.2.3.16.2.4

Divide $243$ por $1$ .

$243$

Paso 4