Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{- x} + 1$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4.5

Suma $- e^{- x}$ y $0$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x}) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 5

Multiplica $e^{x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{- x + x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 5.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{e^{0} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 6

Simplifica $e^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 - e^{- x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.1.1.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{- 1 - (e^{x} e^{- x}) - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1 - e^{x - x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.1.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{- 1 - e^{0} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2

Simplifica $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 - 1 - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 - 1 - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{- 1 - 1 - e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2 - e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 8.4

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (2) - e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 8.5

Factoriza $- 1$ de $- e^{x}$ .

$\frac{- 1 (2) - (e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 8.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (e^{x})$ .

$\frac{- 1 (2 + e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 8.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 + e^{x}}{e^{2 x}}$