Cálculo Ejemplos

$\frac{x + y}{x - y}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + y$ y $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - y) (1 + 0) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $x - y$ por $1$ .

$\frac{x - y - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{x - y - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - y - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - y - (x + y) (1 + 0)}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - y - (x + y) \cdot 1}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - y - (x + y)}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - y - x - y}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Combina los términos opuestos en $x - y - x - y$ .

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Paso 3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{- y + 0 - y}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Suma $- y$ y $0$ .

$\frac{- y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Resta $y$ de $- y$ .

$\frac{- 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 y}{{(x - y)}^{2}}$