Cálculo Ejemplos

$e^{3 x} \cos (2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{3 x}$ y $g (x) = \cos (2 x)$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$e^{3 x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{3 x} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \cdot 3)$

Paso 5.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (3 \cdot e^{3 x})$

Paso 5.3.3

Reordena los términos.

$- 2 e^{3 x} \sin (2 x) + 3 e^{3 x} \cos (2 x)$