Cálculo Ejemplos

$\ln (x - \sqrt{x^{2} - 1})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Paso 9.3

Mueve ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

Paso 10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Paso 12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

Paso 13

Simplifica los términos.

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Paso 13.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Paso 13.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Paso 13.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{- 2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Paso 13.4

Combina $\frac{- 2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 13.5

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 14

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{- x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.2

Multiplica $1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.3

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 16.3.1

Multiplica $\frac{1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.3.2

Combinar.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.5

Cancela el factor común de ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 16.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{- x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.5.2

Cancela el factor común.

Paso 16.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.6

Multiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.7

Factoriza ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 16.7.1

Reordena la expresión.

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Paso 16.7.1.1

Reordena ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $x$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.7.1.2

Reordena ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.7.2

Factoriza ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - 1 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.7.3

Factoriza ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 1 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.7.4

Factoriza ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.8

Factoriza $- 1$ de ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.9

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) - (x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.10

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.11

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.12

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 16.13

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$