Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

Paso 1

Sea $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Entonces $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 1.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 1.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 1.1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

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Paso 1.1.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Paso 1.1.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.1.4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.1.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.1.4.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.1.4.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Paso 1.1.4.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Paso 1.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

Paso 1.3.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ , $d u_{3}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{3}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

Paso 5

Evalúa $\ln (| u_{3} |)$ en $e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ y en $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ es aproximadamente $7.52439138$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Paso 7.1.2

Para escribir $e^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Paso 7.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Paso 7.1.4

Multiplica $e^{2}$ por $e^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Paso 7.1.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Paso 7.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

Paso 7.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

Paso 7.4

Multiplica $\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

Paso 7.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Forma decimal:

$0.66250137 \dots$

Paso 9