Cálculo Ejemplos

$x^{3} - x y + y^{2} = 7$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - x y + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y y'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - (x y') - y + 2 y y'$

Paso 2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 x^{2} - x y' - y + 2 y y'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y$

Paso 3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' + 2 y y' - y = - 3 x^{2}$

Paso 5.1.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- x y' + 2 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x) + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (2 y) = - 3 x^{2} + y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (- x) + y' (2 y)$ .

$y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ por $- x + 2 y$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ por $- x + 2 y$ .

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- x + 2 y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y}{- x + 2 y}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y}{- x + 2 y}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y)}{- x + 2 y}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Paso 5.3.3.5

Reescribe $- (3 x^{2} - y)$ como $- 1 (3 x^{2} - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Paso 5.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) + 2 y}$

Paso 5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) - (- 2 y)}$

Paso 5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x - 2 y)}$

Paso 5.3.3.9

Reescribe $- (x - 2 y)$ como $- 1 (x - 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Paso 5.3.3.10

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Paso 5.3.3.11

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$