Cálculo Ejemplos

$x = \tan (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (y) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \sec^{2} (y) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\sec^{2} (y) y' = 1$ .

$\sec^{2} (y) y' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $\sec^{2} (y) y' = 1$ por $\sec^{2} (y)$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $\sec^{2} (y) y' = 1$ por $\sec^{2} (y)$ .

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $\sec^{2} (y)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ como ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$y' = \cos^{2} (y)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$