Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{2} | x | d x$

Paso 1

Divide la integral según si $x$ es positiva y negativa.

$\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{2} x d x$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{2} x d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x$

Paso 4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $0$ y en $- 1$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$

Paso 6.2

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $2$ y en $0$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.4

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- - \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.9

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.3.9.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.9.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Paso 6.3.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 6.3.11

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 2 + 0 (\frac{1}{2})$

Paso 6.3.12

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 + 0$

Paso 6.3.13

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{2} + 2$

Paso 6.3.14

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.3.15

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 6.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Paso 6.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.17.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1 + 4}{2}$

Paso 6.3.17.2

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{5}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{2}$

Forma decimal:

$2.5$

Forma de número mixto:

$2 \frac{1}{2}$

Paso 8