Cálculo Ejemplos

$\int_{36}^{4} 9 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Paso 1

Combina $9$ y $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ .

$\int_{36}^{4} \frac{9 \ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Paso 2

Dado que $9$ es constante con respecto a $y$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int_{36}^{4} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Paso 3

Reescribe $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ como un producto.

$9 \int_{36}^{4} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (y)$ y $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $2$ y $\frac{1}{y}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y)$

Paso 5.2

Combina $y^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{y}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y)$

Paso 5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y)$

Paso 5.4

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Paso 5.5

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.5.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Paso 5.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y)$

Paso 5.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y)$

Paso 5.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y)$

Paso 5.5.4

Resta $1$ de $2$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - (2 \int_{36}^{4} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y))$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Paso 7.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y)$

Paso 7.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y)$

Paso 7.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{\frac{- 1}{2}} d y)$

Paso 7.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{- \frac{1}{2}} d y)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{4}))$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ en $4$ y en $36$ .

$9 ((\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{4}))$

Paso 9.2

Evalúa $2 y^{\frac{1}{2}}$ en $4$ y en $36$ .

$9 ((\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$9 (\ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.1

Cancela el factor común.

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.3.2

Reescribe la expresión.

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{1}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.4

Evalúa el exponente.

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$9 (\ln (4) \cdot 4 - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.6

Mueve $4$ a la izquierda de $\ln (4)$ .

$9 (4 \cdot \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.7

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.9.1

Cancela el factor común.

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.9.2

Reescribe la expresión.

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{1}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.10

Evalúa el exponente.

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.11

Multiplica $2$ por $6$ .

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) \cdot 12 - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.12

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.13

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.14

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.15.1

Cancela el factor común.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.15.2

Reescribe la expresión.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.16

Evalúa el exponente.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.17

Multiplica $2$ por $2$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.18

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.19

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}))$

Paso 9.3.20

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.20.1

Cancela el factor común.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}))$

Paso 9.3.20.2

Reescribe la expresión.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{1}))$

Paso 9.3.21

Evalúa el exponente.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6))$

Paso 9.3.22

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 12))$

Paso 9.3.23

Resta $12$ de $4$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 \cdot - 8)$

Paso 9.3.24

Multiplica $- 2$ por $- 8$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) + 16)$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) + 16)$

Forma decimal:

$- 193.11344835 \dots$