Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 3}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 6.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 6.2.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 6.2.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 6.2.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 6.2.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

Paso 6.2.7

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Paso 6.2.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

Paso 6.2.8.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

Paso 6.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

Paso 6.2.10

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

Paso 6.2.11

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

Paso 6.2.12

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{3}{16}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{16}$

Forma decimal:

$0.1875$

Paso 8