Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Entonces $d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ , de modo que $1 d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 1.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 1.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Paso 1.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Paso 1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{1}{x^{3}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{3}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Paso 1.3.2

Divide $1$ por $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{1}{x^{3}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{3}}$

Paso 1.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = \frac{1}{8}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{8}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

Paso 2

Dado que $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- \frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{3} \int_{1}^{\frac{1}{8}} e^{u} d u$

Paso 3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{8}}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $e^{u}$ en $\frac{1}{8}$ y en $1$ .

$- \frac{1}{3} ((e^{\frac{1}{8}}) - e^{1})$

Paso 4.2

Simplifica.

$- \frac{1}{3} (e^{\frac{1}{8}} - e)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3} (- e)$

Paso 5.2

Combina $e^{\frac{1}{8}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} - \frac{1}{3} (- e)$

Paso 5.3

Multiplica $- \frac{1}{3} (- e)$ .

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) e$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{1}{3} e$

Paso 5.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{e}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{e}{3}$

Forma decimal:

$0.52837779 \dots$

Paso 7