Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln^{2} (x)}{x^{3}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int \ln^{2} (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln^{2} (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int \ln^{2} (x) x^{- 3} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln^{2} (x)$ y $d v = x^{- 3}$ .

$\ln^{2} (x) (- \frac{1}{2 x^{2}}) - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\ln^{2} (x)$ y $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ por $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{x (2 x^{2})} d x$

Paso 3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{1 + 2}} d x$

Paso 3.5

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{3}} d x$

Paso 4

Reescribe $- \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{3}}$ como $- \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Paso 6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + 1 \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Paso 6.1.3

Multiplica $\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$ por $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Paso 6.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) x^{- 3} d x$

Paso 7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{- 3}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}}) - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

Paso 8.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Paso 8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

Paso 8.5

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + 1 \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Paso 10.2

Multiplica $\int \frac{1}{2 x^{3}} d x$ por $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 12

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 12.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 12.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 12.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 12.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{- 3} d x$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Reescribe $- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$ como $- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$

Paso 14.2

Simplifica.

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Paso 14.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2} \cdot 2}) + C$

Paso 14.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot x^{2}}) + C$

Paso 14.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 (2 x^{2})} + C$

Paso 14.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{4 x^{2}} + C$