Cálculo Ejemplos

$\int \csc^{3} (x) d x$

Paso 1

Aplica la fórmula de reducción.

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int \csc (x) d x$

Paso 2

La integral de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Reescribe $- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$ como $- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ .

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Combina $\cot (x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\cot (x)}{2} \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Paso 3.2.2

Combina $\csc (x)$ y $\frac{\cot (x)}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Paso 3.2.3

Para escribir $\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Paso 3.2.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C$

Paso 3.2.7

Combina $\frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}$ y $2$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C$

Paso 3.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \cdot \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Paso 3.2.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Paso 3.2.9.2

Divide $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ por $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C$