Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

Paso 2

Divide $x^{2}$ por $x^{2} + 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$9$

Paso 2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0 + 9$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$

Paso 2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$
									-	$9$

Paso 2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$4 \int 1 - \frac{9}{x^{2} + 9} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int d x + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$4 (x + C + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (x + C - \int \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Paso 6

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$4 (x + C - (9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x))$

Paso 7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

Paso 7.2

Reordena $x^{2}$ y $9$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x)$

Paso 7.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x)$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$4 (x + C - 9 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C))$

Paso 9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$4 (x + C - 9 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C))$

Paso 9.2

Simplifica.

$4 (x - 3 \arctan (\frac{x}{3})) + C$

Paso 9.3

Reordena los términos.

$4 (x - 3 \arctan (\frac{1}{3} x)) + C$