Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\cos (2 x)}{1 + \sin (2 x)} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = 1 + \sin (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = 1 + \sin (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + \sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3.1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$0 + \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$0 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + \cos (2 x) \cdot 2$

Paso 1.1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$0 + 2 \cos (2 x)$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + \sin (2 x) |) + C$