Cálculo Ejemplos

$\int \frac{7 x^{5} + 7 x^{2} + 14}{x^{3} - x} d x$

Paso 1

Divide $7 x^{5} + 7 x^{2} + 14$ por $x^{3} - x$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$7 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 x^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{3}$ .

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$7 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$7 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

$7 x^{5}$

$0$

$7 x^{3}$

$0$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 x^{5} + 0 - 7 x^{3} + 0$ .

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$7 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

$7 x^{5}$

$0$

$7 x^{3}$

$0$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$7 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

$7 x^{5}$

$0$

$7 x^{3}$

$0$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

Paso 1.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$7 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

$7 x^{5}$

$0$

$7 x^{3}$

$0$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{3}$ .

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$7 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

$7 x^{5}$

$0$

$7 x^{3}$

$0$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$7 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

$7 x^{5}$

$0$

$7 x^{3}$

$0$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

$7 x^{3}$

$0$

$7 x$

$0$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 x^{3} + 0 - 7 x + 0$ .

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$7 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

$7 x^{5}$

$0$

$7 x^{3}$

$0$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

$7 x^{3}$

$0$

$7 x$

$0$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$7 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

$7 x^{5}$

$0$

$7 x^{3}$

$0$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$14$

$7 x^{3}$

$0$

$7 x$

$0$

$7 x^{2}$

$7 x$

$14$

Paso 1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 7 x^{2} + 7 + \frac{7 x^{2} + 7 x + 14}{x^{3} - x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 7 x^{2} d x + \int 7 d x + \int \frac{7 x^{2} + 7 x + 14}{x^{3} - x} d x$

Paso 3

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int x^{2} d x + \int 7 d x + \int \frac{7 x^{2} + 7 x + 14}{x^{3} - x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 7 d x + \int \frac{7 x^{2} + 7 x + 14}{x^{3} - x} d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 7 x + C + \int \frac{7 x^{2} + 7 x + 14}{x^{3} - x} d x$

Paso 6

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C + \int \frac{7 x^{2} + 7 x + 14}{x^{3} - x} d x$

Paso 7

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 7.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 7.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 7.1.1.1

Factoriza $7$ de $7 x^{2} + 7 x + 14$ .

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Paso 7.1.1.1.1

Factoriza $7$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{7 (x^{2}) + 7 x + 14}{x^{3} - x}$

Paso 7.1.1.1.2

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$\frac{7 (x^{2}) + 7 (x) + 14}{x^{3} - x}$

Paso 7.1.1.1.3

Factoriza $7$ de $14$ .

$\frac{7 (x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Paso 7.1.1.1.4

Factoriza $7$ de $7 (x^{2}) + 7 x$ .

$\frac{7 (x^{2} + x) + 7 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Paso 7.1.1.1.5

Factoriza $7$ de $7 (x^{2} + x) + 7 \cdot 2$ .

$\frac{7 (x^{2} + x + 2)}{x^{3} - x}$

Paso 7.1.1.2

Factoriza $x$ de $x^{3} - x$ .

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Paso 7.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{7 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} - x}$

Paso 7.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{7 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Paso 7.1.1.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{7 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1)}$

Paso 7.1.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{7 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Paso 7.1.1.4

Factoriza.

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Paso 7.1.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{7 (x^{2} + x + 2)}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Paso 7.1.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{7 (x^{2} + x + 2)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Paso 7.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 7.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Paso 7.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{7 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.6

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 7.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.7

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 7.1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.7.2

Divide $7 (x^{2} + x + 2)$ por $1$ .

$7 (x^{2} + x + 2) = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} + 7 x + 7 \cdot 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.9

Multiplica $7$ por $2$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.10.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1.10.1.1

Cancela el factor común.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.1.2

Divide $A ((x + 1) (x - 1))$ por $1$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.10.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.1.10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.10.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.6

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.7

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 7.1.10.7.1

Cancela el factor común.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.7.2

Divide $(B) (x (x - 1))$ por $1$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.8

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.9

Multiplica $x$ por $x$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.10

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.11

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.12

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.13

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.14

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 7.1.10.14.1

Cancela el factor común.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 7.1.10.14.2

Divide $(C) (x (x + 1))$ por $1$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Paso 7.1.10.15

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Paso 7.1.10.16

Multiplica $x$ por $x$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Paso 7.1.10.17

Multiplica $x$ por $1$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Paso 7.1.10.18

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Paso 7.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1.11.1

Mueve $B$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Paso 7.1.11.2

Mueve $- A$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Paso 7.1.11.3

Mueve $- x B$ .

$7 x^{2} + 7 x + 14 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Paso 7.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 7.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$7 = A + B + C$

Paso 7.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$14 = - 1 A$

Paso 7.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$7 = A + B + C$

$7 = - 1 B + C$

$14 = - 1 A$

$7 = A + B + C$

$7 = - 1 B + C$

$14 = - 1 A$

Paso 7.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 7.3.1

Resuelve $A$ en $14 = - 1 A$ .

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Paso 7.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 A = 14$ .

$- 1 A = 14$

$7 = A + B + C$

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.3.1.2

Divide cada término en $- 1 A = 14$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.2.1

Divide cada término en $- 1 A = 14$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{14}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{14}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.3.1.2.2.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{14}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$7 = - 1 B + C$

$A = \frac{14}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.2.3.1

Divide $14$ por $- 1$ .

$A = - 14$

$7 = A + B + C$

$7 = - 1 B + C$

$A = - 14$

$7 = A + B + C$

$7 = - 1 B + C$

$A = - 14$

$7 = A + B + C$

$7 = - 1 B + C$

$A = - 14$

$7 = A + B + C$

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 14$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $7 = A + B + C$ por $- 14$ .

$7 = (- 14) + B + C$

$A = - 14$

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$7 = - 14 + B + C$

$A = - 14$

$7 = - 1 B + C$

$7 = - 14 + B + C$

$A = - 14$

$7 = - 1 B + C$

$7 = - 14 + B + C$

$A = - 14$

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.3.3

Resuelve $B$ en $7 = - 14 + B + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 14 + B + C = 7$ .

$- 14 + B + C = 7$

$A = - 14$

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.1

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$B + C = 7 + 14$

$A = - 14$

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.3.3.2.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 7 + 14 - C$

$A = - 14$

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.3.3.2.3

Suma $7$ y $14$ .

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$7 = - 1 B + C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$7 = - 1 B + C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$7 = - 1 B + C$

Paso 7.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $21 - C$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $7 = - 1 B + C$ por $21 - C$ .

$7 = - 1 (21 - C) + C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.4.2.1

Simplifica $- 1 (21 - C) + C$ .

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Paso 7.3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 = - 1 \cdot 21 - 1 (- C) + C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.4.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $21$ .

$7 = - 21 - 1 (- C) + C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.4.2.1.1.3

Multiplica $- 1 (- C)$ .

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Paso 7.3.4.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$7 = - 21 + 1 C + C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.4.2.1.1.3.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$7 = - 21 + C + C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$7 = - 21 + C + C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$7 = - 21 + C + C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.4.2.1.2

Suma $C$ y $C$ .

$7 = - 21 + 2 C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$7 = - 21 + 2 C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$7 = - 21 + 2 C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$7 = - 21 + 2 C$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.5

Resuelve $C$ en $7 = - 21 + 2 C$ .

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Paso 7.3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 21 + 2 C = 7$ .

$- 21 + 2 C = 7$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.5.2.1

Suma $21$ a ambos lados de la ecuación.

$2 C = 7 + 21$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.5.2.2

Suma $7$ y $21$ .

$2 C = 28$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$2 C = 28$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.5.3

Divide cada término en $2 C = 28$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.5.3.1

Divide cada término en $2 C = 28$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{28}{2}$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 C}{2} = \frac{28}{2}$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.5.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{28}{2}$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$C = \frac{28}{2}$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$C = \frac{28}{2}$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.5.3.3.1

Divide $28$ por $2$ .

$C = 14$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$C = 14$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$C = 14$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

$C = 14$

$B = 21 - C$

$A = - 14$

Paso 7.3.6

Reemplaza todos los casos de $C$ por $14$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.6.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = 21 - C$ por $14$ .

$B = 21 - (14)$

$C = 14$

$A = - 14$

Paso 7.3.6.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.6.2.1

Simplifica $21 - (14)$ .

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Paso 7.3.6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $14$ .

$B = 21 - 14$

$C = 14$

$A = - 14$

Paso 7.3.6.2.1.2

Resta $14$ de $21$ .

$B = 7$

$C = 14$

$A = - 14$

$B = 7$

$C = 14$

$A = - 14$

$B = 7$

$C = 14$

$A = - 14$

$B = 7$

$C = 14$

$A = - 14$

Paso 7.3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = 7, C = 14, A = - 14$

Paso 7.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{14}{x} + \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{x - 1}$

Paso 7.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C + \int - \frac{14}{x} + \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{x - 1} d x$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C + \int - \frac{14}{x} d x + \int \frac{7}{x + 1} d x + \int \frac{14}{x - 1} d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C - \int \frac{14}{x} d x + \int \frac{7}{x + 1} d x + \int \frac{14}{x - 1} d x$

Paso 10

Dado que $14$ es constante con respecto a $x$ , mueve $14$ fuera de la integral.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C - (14 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{7}{x + 1} d x + \int \frac{14}{x - 1} d x$

Paso 11

Multiplica $14$ por $- 1$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C - 14 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{7}{x + 1} d x + \int \frac{14}{x - 1} d x$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C - 14 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{7}{x + 1} d x + \int \frac{14}{x - 1} d x$

Paso 13

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C - 14 (\ln (| x |) + C) + 7 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{14}{x - 1} d x$

Paso 14

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 14.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 14.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 14.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 14.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 14.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 14.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C - 14 (\ln (| x |) + C) + 7 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{14}{x - 1} d x$

Paso 15

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C - 14 (\ln (| x |) + C) + 7 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{14}{x - 1} d x$

Paso 16

Dado que $14$ es constante con respecto a $x$ , mueve $14$ fuera de la integral.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C - 14 (\ln (| x |) + C) + 7 (\ln (| u_{1} |) + C) + 14 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 17

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 17.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 17.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 17.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 17.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 17.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C - 14 (\ln (| x |) + C) + 7 (\ln (| u_{1} |) + C) + 14 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 18

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 7 x + C - 14 (\ln (| x |) + C) + 7 (\ln (| u_{1} |) + C) + 14 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 19

Simplifica.

$\frac{7 x^{3}}{3} + 7 x - 14 \ln (| x |) + 7 \ln (| u_{1} |) + 14 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 20

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 20.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$\frac{7 x^{3}}{3} + 7 x - 14 \ln (| x |) + 7 \ln (| x + 1 |) + 14 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 20.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$\frac{7 x^{3}}{3} + 7 x - 14 \ln (| x |) + 7 \ln (| x + 1 |) + 14 \ln (| x - 1 |) + C$

Paso 21

Reordena los términos.

$\frac{7}{3} x^{3} + 7 x - 14 \ln (| x |) + 7 \ln (| x + 1 |) + 14 \ln (| x - 1 |) + C$