Cálculo Ejemplos

$1 - x y = x - y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (1 - x y) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$0 - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$0 - (x y' + y)$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - (x y') - y$

Paso 2.3.2

Resta $- (- x y' - y)$ de $0$ .

$- x y' - y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x y' - y = 1 - y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $y'$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' - y + y' = 1$

Paso 5.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' + y' = 1 + y$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $- x y' + y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x) + y' = 1 + y$

Paso 5.3.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (- x) + y' = 1 + y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- x) + y' \cdot 1 = 1 + y$

Paso 5.3.4

Factoriza $y'$ de $y' (- x) + y' \cdot 1$ .

$y' (- x + 1) = 1 + y$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (- x + 1) = 1 + y$ por $- x + 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (- x + 1) = 1 + y$ por $- x + 1$ .

$\frac{y' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{- x + 1} + \frac{y}{- x + 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $- x + 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{- x + 1} + \frac{y}{- x + 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- x + 1} + \frac{y}{- x + 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1 + y}{- x + 1}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{1 + y}{- (x) + 1}$

Paso 5.4.3.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 + y}{- (x) - 1 (- 1)}$

Paso 5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 + y}{- (x - 1)}$

Paso 5.4.3.5

Reescribe los negativos.

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Paso 5.4.3.5.1

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{1 + y}{- 1 (x - 1)}$

Paso 5.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1 + y}{x - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y}{x - 1}$