Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = y$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.4

Multiplica $y$ por $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.6

Resta $y'$ de $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{- y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x^{- 2} - \frac{y'}{y^{2}}$

Paso 2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{y'}{y^{2}}$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{y'}{y^{2}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $\frac{1}{x^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5.2

Divide cada término en $- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{y'}{y^{2}}}{1} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Paso 5.2.2.2

Divide $\frac{y'}{y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ como $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Paso 5.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$