Cálculo Ejemplos

$\frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} - 2)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} - 2)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$

Paso 7

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$

Paso 8

Multiplica $\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Paso 9

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Paso 10

Factoriza $3$ de $3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Paso 11

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Paso 12

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 14

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Paso 15

Simplifica los términos.

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Paso 15.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Paso 15.2

Combina $2$ y $\frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Paso 15.3

Combina $\frac{2 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Paso 15.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Paso 15.5

Simplifica la expresión.

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Paso 15.5.1

Divide ${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} x$ por $1$ .

${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} x$

Paso 15.5.2

Reordena los factores de ${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$