Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{2 x + 1}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{2 x + 1}$ como ${(2 x + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + 0)$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} \cdot 2$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$