Cálculo Ejemplos

$y = x$ , $y = \sqrt{x}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x = \sqrt{x}$

Paso 1.2

Resuelve $x = \sqrt{x}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt{x} = x$

Paso 1.2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x}}^{2} = x^{2}$

Paso 1.2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Simplifica.

$x = x^{2}$

Paso 1.2.4

Resuelve $x$

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Paso 1.2.4.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x - x^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.4.2.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$u - u^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2.2

Factoriza $u$ de $u - u^{2}$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2.2.2

Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2.2.3

Factoriza $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Paso 1.2.4.2.2.4

Factoriza $u$ de $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Paso 1.2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Paso 1.2.4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = \sqrt{x}$

Paso 1.2.4.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.4.5

Establece $1 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.5.1

Establece $1 - x$ igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 1.2.4.5.2

Resuelve $1 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 1.2.4.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.4.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.4.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.5.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 1.2.4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (1 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = \sqrt{0}$

Paso 1.3.2

Simplifica $\sqrt{0}$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt{0}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 1$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = \sqrt{1}$

Paso 1.4.2

Simplifica $\sqrt{1}$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt{1}$

Paso 1.4.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} x d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $1$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - (x) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Paso 3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Paso 3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Paso 3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Paso 3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 3.8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.8.2.1

Evalúa $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 3.8.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3

Simplifica.

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Paso 3.8.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.8.2.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.7

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.8

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.9

Suma $\frac{2}{3}$ y $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 3.8.2.3.12

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 3.8.2.3.12.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 3.8.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.2.3.12.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 3.8.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 3.8.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Paso 3.8.2.3.12.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - 0)$

Paso 3.8.2.3.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 3.8.2.3.14

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

Paso 3.8.2.3.15

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.8.2.3.16

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.8.2.3.17

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.8.2.3.17.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.8.2.3.17.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.8.2.3.17.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Paso 3.8.2.3.17.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Paso 3.8.2.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}$

Paso 3.8.2.3.19

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.2.3.19.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 - 3}{6}$

Paso 3.8.2.3.19.2

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 4